利用 Lie 群求解微分方程的5步法
| 步骤 | 操作 |
|---|---|
| 1 | 计算微分方程的无穷小生成元 \(V^{(k)}\) |
| 2 | 如果\(r>2\)，则需要确定其子代数 \(\mathcal{L_2}\subset\mathcal{L_r}\)。如果\(r<2\)，微分方程不能利用 Lie 群进行简化求解（\(r=2\) 的情况总是可解的） |
| 3 | 计算\(X_2\)基的交换子\([X_1,X_2]\)和$ X_1X_2 $。 |
| 4 | 引入正则变量，把微分方程改写为正则变量的形式，积分求解。 |
| 5 | 把解变为原来变量的形式，即得到原方程的解 |
群
数学中，群是一种代数结构，由一个集合和一个二元运算组成。
群公理的4个基本要求
- 封闭性：对于所有集合\(G\)中的\(a\)， \(b\)，运算\(a\cdot b\) 的结果也在\(G\)中。
- 结合律：对于所有集合\(G\)中的\(a\)， \(b\) 和\(c\)，等式\((a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\) 成立（注意排序）。
- 单位元：\(G\)中存在一个元素\(e\)，使得对于所有的\(G\)中元素\(a\)，等式\(e\cdot a=a \cdot e=a\)恒成立。
- 逆元：对于每个\(G\)中的\(a\)，存在\(G\)中的一个元素\(b\) 使得\(a\cdot b= b \cdot a=e\)，这里\(e\)是单位元。
注意： 交换律并不总成立，其中交换律总成立的群被称为Abel 群/交换群。
变换群
\(n\)维线性空间\(V\)内的线性变换，将元素\(\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in V\)利用变换\(X\)到另个一元素 \(\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)=\boldsymbol X：\boldsymbol{a}\in V\)，这种变换\(X\)的集合\(G\)构成了群：
封闭性：\(\boldsymbol X_1\in G\)， 且\(\boldsymbol X_2\in G\) ，则有\(\boldsymbol X_1\boldsymbol X_2\in G\)。
结合律：\(\boldsymbol X_1,\boldsymbol X_2~\text{and}~\boldsymbol X_3\in G\)，则有\((\boldsymbol X_1\boldsymbol X_2)\boldsymbol X_3:\boldsymbol{a}=\boldsymbol X_1(\boldsymbol X_2\boldsymbol X_3):\boldsymbol{a}\)。
单位元：定义恒等变换\(\boldsymbol X_e\in G\)满足\(\boldsymbol X_e:\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}\)，对于所有\(\boldsymbol X_i\)满足\(\boldsymbol X_i\boldsymbol X_e:\boldsymbol{a}=\boldsymbol X_e\boldsymbol X_i:\boldsymbol{a}\)，即恒等变换\(\boldsymbol X_e\)为单位元。
逆元：\(\boldsymbol X_i\in G\)的逆变换\(\boldsymbol X_i'\in G\) 满足\(\boldsymbol X_i\boldsymbol X_i':\boldsymbol{a}=\boldsymbol X_e:\boldsymbol{a}\)。
此时，称\(G\)为\(V\)上的变换群。(此时V不在局限于线性空间)
单参数 Lie 群和 Lie 级数
无限连续群
若变换可以用一个参数来表征，并且参数可连续变化，这种变化的全体组成一个无限连续群，定义如下：
设 \(\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in D\subset \mathbb{R}^n\)， \(\epsilon \in S \subset \mathbb{R}\) 则称满足下列条件的变换 \[ \boldsymbol{x^*}=\boldsymbol X(\boldsymbol{x};\epsilon)\in D\label{bhq}\tag{1} \] 的全体\(G\)为\(D\)上的变换群：
对于\(\forall \epsilon \in S\)，Eq.\(~\eqref{bhq}\)在\(D\)上是一一变换
具有二元运算关系\(\phi\)的\(S\)构成群（PS：二元运算定义为群的“乘法”，但不一定满足交换律）：
这里根据：\(\boldsymbol{x^\circ} = \boldsymbol X(\boldsymbol{x^*};\delta)=\boldsymbol X(\boldsymbol X(\boldsymbol{x};\epsilon);\delta)\)，若：\(\boldsymbol{x^\circ}=\boldsymbol X(\boldsymbol{x};\epsilon_1)\)，则有\(\epsilon_1=f(\epsilon,\delta),\) 此时\(\phi\)亦构成群，\(f\)称为合成率。
当\(\epsilon=\epsilon_e\)时，有\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol X(\boldsymbol{x};\epsilon_e)\)。
如果上述\(D\)上的变换群\(G\)还满足：
- \(\epsilon\)连续。
- \(\boldsymbol X\)关于\(\boldsymbol{x}\in D\)是无穷次可微的，\(\epsilon \in S\)是解析的。
- \(f(\epsilon_1,\epsilon_2)\)是\(\epsilon_1,\epsilon_2\)的解析函数\(\epsilon_1,\epsilon_2\in S\)。
则称\(G\)为\(D\)上的单参数变换群/Lie点变换群，简记为 OPG。
因为连续群是由\(n\)个连续变量之间变化而生成的，这\(n\)个变量同时也构成一个n维空间。19世纪后期， Sophus Lie 提出连续变换群的概念：如果一个由\(n\)个变量生成的连续群既有群的结构，又是一个\(n\)维微分流形，便称为Lie群。
举例：
- 在\((x,y)\)平面，假设变换
\[ \boldsymbol X_\epsilon: \hat{x}=\phi(x,y,\epsilon),~~~~~~~\hat{y}=\psi(x,y,\epsilon)\label{ts}\tag{2} \] 且满足：
- 恒等式：\(\epsilon=0\)时
\[ \boldsymbol X_0:\hat{x}=\phi(x,y,0)=x,~~~~~~~\hat{y}=\psi(x,y,0)=y \]
- 反向变换：\(\epsilon\)变换为\(\epsilon^{-1}\)时：
\[ \boldsymbol X_{\epsilon^{-1}}:x=\phi(\hat{x},\hat{y},\epsilon^{-1}),~~~~~~~y=\psi(\hat{x},\hat{y},\epsilon^{-1}) \]
- 闭合：
\[ \boldsymbol X_\delta:\bar{x}=\phi(\hat{x},\hat{y},\delta),~~~~~~~\bar{y}=\psi(\hat{x},\hat{y},\delta) \]
联立 Transformation\(~\eqref{ts}\)，变换的乘积附录1为: \[ \boldsymbol X_{\epsilon+\delta}: \bar{x} =\phi(\hat{x},\hat{y},\delta)=\phi(x,y,\epsilon+\delta),~~~~~~~\bar{y}=\psi(\hat{x},\hat{y},\delta)=\psi(x,y,\epsilon+\delta) \]
- 几个简单的单参数连续群：
- 平移群：\(\hat{x}=x+\epsilon,\hat{y}=y+\epsilon\)
- 拉伸群：\(\hat{x}=e^\epsilon x,\hat{y}=e^\epsilon y\)
- 转动群：\(\hat{x}=x\cos \epsilon-y \sin \epsilon,\hat{y}=x\sin \epsilon+y\cos \epsilon\)
- 投影变换群：\(\hat{x}=x/(1-\epsilon x),\hat{y}=y/(1-\epsilon y)\)
无穷小生成元
无穷小
无穷小变换
定义单参数Lie变换群：
\[ \boldsymbol x^*=\boldsymbol X(\boldsymbol x,\epsilon) \] 在\(\epsilon=0\)附近展开 \[ \boldsymbol x^*=\boldsymbol x+\epsilon\left[\frac{\partial\boldsymbol x}{\partial \epsilon}(\boldsymbol x;\epsilon)\bigg|_{\epsilon=0}\right]+\frac{\epsilon^2}{2}\left[\frac{\partial\boldsymbol x^2}{\partial \epsilon^2}(\boldsymbol x;\epsilon)\bigg|_{\epsilon=0}\right]+\cdots\label{wqxxs}\tag{3} \] 若记 \[ \boldsymbol \xi (\boldsymbol x)=\frac{\partial\boldsymbol x}{\partial \epsilon}(\boldsymbol x;\epsilon)\bigg|_{\epsilon=0} \] 则称变换 \(\boldsymbol x+\epsilon \boldsymbol \xi(\boldsymbol x)\) 为单参数变换群的无穷小变换，该级数称为Lie 级数，Eq.\(~\eqref{wqxxs}\) 为单参数变换群的无穷小形式，\(\boldsymbol \xi(\boldsymbol x)=(\xi_1(\boldsymbol x),\xi_2(\boldsymbol x),\cdots,\xi_n(\boldsymbol x))\) 称为\(\boldsymbol x\) 的无穷小。
等价初值问题
定理：存在一个参数化的 \(\tau(\epsilon)\) 使得 Lie 变换群 Eq.\(~\eqref{wqxxs}\) 等价于如下的形式的一阶微分方程的初值问题： \[ \frac{\text{d}x^*}{\text{d}\tau}=\xi(x^*), ~~~~~~~x^*|_{\tau=0}=x\label{czwt}\tag{4} \] 其中 \[ \tau(\epsilon)=\int_0^\epsilon\theta(\epsilon')\text{d}\epsilon',~~~~~~\theta(\epsilon)=\frac{\partial f(a,b)}{\partial b}\bigg|_{(a,b)=(\epsilon^{-1},\epsilon)},~~~~~~\theta(0)=1\label{bh}\tag{5} \] 特别地，当 \(f(a,b)=a+b\) 时，初值问题 \(\eqref{czwt}\) 转化为 \[ \frac{\text{d}x^*}{\text{d}\epsilon}=\xi(x^*),~~~~~~~x^*|_{\epsilon=0}=x \]
无穷小生成子
定义：算子 \[ V=V(\boldsymbol x)=\boldsymbol \xi(\boldsymbol x)\cdot \nabla=\sum_{i=1}^{n}\xi_i(\boldsymbol x)\frac{\partial}{\partial x_i} \] 称为单参数 Lie 变换群 \(\boldsymbol x^*=\boldsymbol X(\boldsymbol x;\epsilon)\) 的无穷小生成子（无穷小生成元）。(包含了变换群的全部信息)
则单参数 Lie 变换群 \(\boldsymbol x^*=\boldsymbol X(\boldsymbol x;\epsilon)\) 可以表示为 \[ \boldsymbol x^*=e^{\epsilon V}\boldsymbol x=\boldsymbol x+\epsilon V\boldsymbol x+\frac{\epsilon^2}{2} V^2\boldsymbol x+\cdots=\sum_{i=1}^n\frac{\epsilon^k}{k!} V^k\boldsymbol x \] 其中 \(V^k=V V^{K-1}\)，\(V^{0}\) 为恒等算子。（注意这个使用条件，认定\(\boldsymbol x\)的分量线性无关）
对于任意可微函数\(F(x)\)，有 \[ \frac{\text{d}}{\text{d}\epsilon}F(\boldsymbol x^*)=\sum_{i=1}^n\xi_i(\boldsymbol x^*)\frac{\partial}{\partial x_i^*}F(\boldsymbol x^*)=V(\boldsymbol x^*)F(\boldsymbol x^*) \] 所以 \[ \frac{\text{d}^k}{\text{d}\epsilon^k}\boldsymbol x^*\bigg|_{\epsilon=0}=V^k(\boldsymbol x^*)\boldsymbol x^*\bigg|_{\epsilon=0}=V^k\boldsymbol x \] 定义：不变函数
如果对于任意的 \(\boldsymbol x\in D\)，\(\epsilon \in S\) 有光滑函数 \(F(x)\) 满足 \[ F(\boldsymbol x^*)=F(\boldsymbol x) \] 则称 \(F(\boldsymbol x)\)为 Lie 变换群 Eq.\(~\eqref{wqxxs}\) 的不变函数。当且仅当 \[ VF(\boldsymbol x)=0 \] 对于任意 \(\boldsymbol x \in D\) 成立。若 \(F(\boldsymbol x)=0\)， 则其也称为变换群的不变曲面。
无穷小的延拓变换
目的：将代数方程不变群的一些结论拓展到微分方程的不变群。
思路：将自变量和因变量空间进一步延拓，在延拓空间中，自变量、因变量以及因变量对自变量的各阶导数都看作空间元素。
单参数 Lie 变换群的延拓
例如：
\(k\)阶常微分方程的无穷小变换\(y=y(x)\)： \[ x^*=X(x,y,\epsilon),~~~~~~y^*=Y(x,y,\epsilon)\label{kjcwf}\tag{6} \] 记： \[ y_i=\frac{\text{d}^iy}{\text{d} x^i},~~~~~i=1,2,\ldots,k \]
将 Eq.\(~\eqref{kjcwf}\) 延拓到 \((x,y,y_1,y_2,\cdots,y_k)\) 空间，有
\[ y_i^*=\frac{\text{d}^iy^*}{\text{d} (x^*)^i} \] 此处以求 \(y_1^*\) 为例： \[ y_1^*= Y_1(x,y,y_1,\epsilon)=\frac{\text{d}y^*}{\text{d} x^*}=\frac{\frac{\partial Y}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial Y}{\partial y}\frac{\text{d}y}{\text{d} x}\text{d} x}{\frac{\partial X}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial X}{\partial y}\frac{\text{d}y}{\text{d} x}\text{d} x}=\frac{\frac{\partial Y}{\partial x}+y_1\frac{\partial Y}{\partial y}}{\frac{\partial X}{\partial x}+y_1\frac{\partial X}{\partial y}} \]
定理
作用在 \((x,y)\) 空间上的 Lie 变换群\(~\eqref{kjcwf}\) 可以可以延拓到作用在 \((x,y,y_1,y_2,\ldots,y_n)\) 空间上的单参数 Lie 变换群 \[ x^*= X(x,y,\epsilon),~~~~y^*= Y(x,y,\epsilon),~~~~y_i^*= Y_i(x,y,y_1,y_2,\ldots,y_i,\epsilon) \] 由数学归纳法，可以求得 \[ y_i^*= Y_i(x,y,y_1,y_2,\ldots,y_i,\epsilon)=\frac{D Y_{i-1}}{D X}\label{yi} \] 其中 \(D\) 为全微分算子/全导数算子 \[ D=\frac{\partial}{\partial x}+y_1\frac{\partial}{\partial y}+\cdots+y_i\frac{\partial}{\partial y_{i-1}} \]
无穷小生成子的延拓
Lie 变换群\(~\eqref{kjcwf}\) 的无穷小生成子为 \[ V=\xi(x,y)\frac{\partial}{\partial x}+\eta(x,y)\frac{\partial}{\partial y} \] 考虑对于 \(y_i^*\) 在 \(\epsilon=0\) 附近展开得 \[ y_i^*=Y_i(x,y,y_1,\ldots,y_i;\epsilon)=y_i+\epsilon \eta^{(i)}(x,y,y_1,\ldots,y_i)+O(\epsilon^2) \] 则经过 \(k\) 次延拓后得无穷小为 \[ \bigg(\xi(x,y),\eta(x,y),\eta^{(1)}(x,y,y_1),\ldots,\eta^{(k)}(x,y,y_1,\ldots,y_k)\bigg) \] 相应的无穷小生成子为 \[ V^{(k)}=V+\sum_{i=1}^{k}\eta^{(i)}(x,y,y_1,\ldots,y_i)\frac{\partial }{\partial y_i} \] 其中 \(\eta^{(i)}\) 计算公式为 \[ \begin{aligned} \eta^{(i)}&=\frac{\partial y_i^*}{\partial\epsilon}\Bigg|_{\epsilon=0}=\frac{\partial Y_i}{\partial\epsilon}\Bigg|_{\epsilon=0}=\frac{\partial }{\partial\epsilon}\bigg(\frac{D Y_{i-1}}{D X}\bigg)\Bigg|_{\epsilon=0}=\frac{(D Y_{i-1})_\epsilon DX-D Y_{i-1}(D X)_\epsilon}{(DX)^2}\Bigg|_{\epsilon=0}\\ &=\frac{(D Y_{i-1})_\epsilon}{DX}-D Y_{i-1}\frac{(D X)_\epsilon}{(DX)^2}\Bigg|_{\epsilon=0}=\frac{D [(Y_{i-1})_\epsilon]}{DX}-y_i\frac{D( X_\epsilon)}{(DX)^2}\Bigg|_{\epsilon=0}\\ &=D\eta^{(i-1)}-y_iD\xi \end{aligned} \] 例如： \[ \begin{aligned} \eta^{(0)}&=\eta(x,y)\\ \eta^{(1)}&=\eta_x+(\eta_y-\xi_x)y_1-\xi_y y_1^2\\ \eta^{(2)}&=\eta_{xx}+(2\eta_{xy}-\xi_{xx})y_1+(\eta_{yy}-2\xi_{xy})y_1^2-\xi_{yy}y_1^3+(\eta_y-2\xi_x)y_2-3\xi_yy_1y_2 \end{aligned} \]
微分方程的不变性
决定方程组
微分方程的对称群将方程的一个解映射到方程的另一个解，微分方程的不变性可以用来导出其对称群所需满足的充分必要条件。该组条件称为对称群的决定方程组。
定理：
常微分方程 \(G(x,y,y_1,\ldots,y_n)=0\) 关于 Lie 变换群 \[ x^*=\boldsymbol X(x,y,\epsilon),~~~y^*=\boldsymbol Y(x,y,\epsilon) \] 不变的充分必要条件为 \[ V^{(n)} G(x,y,y_1,\ldots,y_n)\bigg|_{G(x)=0}=0 \] 此时，若采用 \(G(x,y,y_1,\ldots,y_n)=y_n-g(x,y,y_1,\ldots,y_{n-1})\)， 则可以求得 \[ \eta^{(n)}(x,y,y_1,\ldots,y_n)=\xi \frac{\partial g}{\partial x}+\eta \frac{\partial g}{\partial y}+\cdots+\eta^{(n-1)} \frac{\partial g}{\partial y_{n-1}} \] 考虑 \(y_1,\ldots,y_{n-1}\) 的任意性，可以分别提取出其各项系数，即可得到一组由 \(n-1\) 个线性偏微分方程组成的方程组，变量为 \(\eta\) 和 \(\xi\)。该方程组称为对称群的决定方程组。
Appendix
变换的证明
引理：\(X(\boldsymbol x;\epsilon+\Delta \epsilon)=X(X(\boldsymbol x;\epsilon);f(\epsilon^{-1},\epsilon+\Delta \epsilon))\)
证明：
\(X(X(\boldsymbol x;\epsilon);f(\epsilon^{-1},\epsilon+\Delta \epsilon))=X(\boldsymbol x;f(f(\epsilon,\epsilon^{-1}),\epsilon+\Delta \epsilon))=X(\boldsymbol x;f(0,\epsilon+\Delta \epsilon))=X(\boldsymbol x;\epsilon+\Delta \epsilon)\)
\(X(X(\boldsymbol x;\epsilon);f(\epsilon^{-1},\epsilon+\Delta \epsilon))=X_{\epsilon+\Delta \epsilon}X_{\epsilon^{-1}}X_{\epsilon}:\boldsymbol x=X_{\epsilon+\Delta \epsilon}:\boldsymbol x=X(\boldsymbol x;\epsilon+\Delta \epsilon)\)
初值问题证明：
对于 \(f(\epsilon^{-1},\epsilon+\Delta \epsilon)\) 在 \(\Delta \epsilon=0\) 附近展开 \[ f(\epsilon^{-1},\epsilon+\Delta \epsilon) = f(\epsilon^{-1},\epsilon)+\theta(\epsilon)\Delta\epsilon+o((\Delta\epsilon)^2)=\theta(\epsilon)\Delta\epsilon+o((\Delta\epsilon)^2) \] 所以，有（复合函数求导链式法则） \[ \begin{aligned} X(x;\epsilon+\Delta \epsilon)&=X(x^*;f(\epsilon^{-1},\epsilon+\Delta \epsilon))\\ &= X(x^*;0)+\theta(\epsilon)\Delta\epsilon\frac{\partial X}{\partial \delta}(x^*,\delta)\bigg|_{\delta=0}+o((\Delta\epsilon)^2)\\ &=x^*+\theta(\epsilon)\xi(x^*)\Delta \epsilon+o((\Delta\epsilon)^2) \end{aligned} \] 因此，有 \[ \frac{\text{d}x^*}{\text{d}\epsilon}=\theta(\epsilon) \xi(x^*),~~~~~~~x^*|_{\epsilon=0}=x \] 采用变换\(~\eqref{bh}\)，则可以化为初值问题\(~\eqref{czwt}\)。
结论：以上，\(\tau(\epsilon)\) 具有任意性，对于任何\(f\)，总存在相应的\(\tau(\epsilon)\)使得 \(f\) 再参数化为\(f(a,b)=a+b\)， 因此，不失一般性，假设\(f(a,b)=a+b\)，\(\theta(\epsilon)=1\).
References
- 郭玉翠，《非线性偏微分方程引论》，清化大学出版社，（2008）。
- 孙博华，《量纲分析与 Lie 群》，高等教育出版社，（2016）。
- 田畴，《李群及其在微分方程中的应用》，科学出版社，（2001）。
